Гаусса и парабола для исследования световых потоков светодиодов экспериментальной лампы: 6 шагов

2024 Автор: John Day | [email protected]. Последнее изменение: 2024-01-30 11:48

Привет всем создателям и шумному сообществу Instructable.

На этот раз Merenel Research предоставит вам чисто исследовательскую задачу и способ ее решения с помощью математики.

У меня возникла эта проблема, когда я рассчитывал потоки светодиодов для светодиодной лампы RGB, которую я построил (и которую я научу строить). После тщательного поиска в Интернете я не нашел ответа, поэтому публикую решение.

ЭТА ПРОБЛЕМА

В физике очень часто приходится иметь дело с кривыми, имеющими форму распределения Гаусса. Да! Это колоколообразная кривая, используемая для вычисления вероятности и принесенная нам великим математиком Гауссом.

Кривая Гаусса широко используется в реальных физических приложениях, особенно когда нам приходится иметь дело с излучением, распространяющимся от источника или принимаемым от приемника, например:

- излучение мощности радиосигнала (например, Wi-Fi);

- световой поток, излучаемый светодиодом;

- считывание фотодиода.

В техническом описании производителя нам часто дается фактическое значение площади гауссиана, которое будет представлять собой полную мощность излучения или световой поток в определенной части спектра (например, светодиода), но становится трудно рассчитать фактическое излучение. испускается на пике кривой, или еще труднее узнать перекрывающееся излучение двух близких источников, например, если мы освещаем более чем одним светодиодом (например, синим и зеленым).

В этой статье я объясню вам, как аппроксимировать гауссиану кривой, которую проще понять: параболой. Отвечу на вопрос: сколько кривых Гаусса в параболе?

СПОЙЛЕР → ОТВЕТ:

Гауссова область всегда равна 1 единице.

Площадь соответствующей параболы с тем же основанием и высотой в 2,13 раза больше, чем относительная гауссова площадь (см. Рисунок для графической демонстрации).

Таким образом, гауссиан равен 46,94% своей параболы, и это соотношение всегда верно.

Эти два числа связаны таким образом: 0,46948 = 1 / 2,13, это строгое математическое соотношение между кривой Гаусса и ее параболой и наоборот.

В этом руководстве я расскажу вам об этом шаг за шагом.

Единственный инструмент, который нам понадобится, - это Geogebra.org, отличный онлайн-математический инструмент для рисования диаграмм.

Диаграмму Geogebra, которую я сделал для сравнения параболы с гауссовой, можно найти по этой ссылке.

Это длинное руководство, потому что оно посвящено демонстрации, но если вам нужно быстро решить ту же проблему, с которой я столкнулся со световыми потоками светодиодов, или другое явление с перекрывающимися кривыми Гауссианы, просто перейдите к электронной таблице, которую вы найдете прикрепленной к шагу 5 этого руководства, которое сделает вашу жизнь проще и автоматически сделает все расчеты за вас.

Надеюсь, вам нравится прикладная математика, потому что это руководство об этом.

Шаг 1. Что такое свет, излучаемый монохроматическим светодиодом

В этом анализе я рассмотрю серию цветных светодиодов, как вы ясно видите из их диаграммы спектра (первое изображение), их спектральное распределение мощности действительно выглядит как гауссово, которое сходится к оси x при -33 и + 33 нм от среднего (производители обычно дает эту спецификацию). Однако учтите, что представление этой диаграммы нормализует все спектры на одном блоке питания, но светодиоды имеют разную мощность в зависимости от того, насколько эффективно они производятся и какой электрический ток (мА) вы подаете на них.

Как вы можете видеть, иногда световой поток двух светодиодов перекрывается по спектру. Скажем, я легко хочу рассчитать площадь перекрытия этих кривых, потому что в этой области будет удвоенная мощность, и я хочу знать, сколько мощности в люменах (лм) у нас там, ну, это не так. это простая задача, на которую мы постараемся ответить в этом руководстве. Проблема возникла потому, что когда я создавал экспериментальную лампу, я действительно хотел знать, насколько перекрываются синий и зеленый спектр.

Мы сосредоточимся только на монохроматических светодиодах, которые излучают в узкой части спектра. На диаграмме: КОРОЛЕВСКИЙ СИНИЙ, СИНИЙ, ЗЕЛЕНЫЙ, ОРАНЖЕВЫЙ-КРАСНЫЙ, КРАСНЫЙ. (Фактическая лампа, которую я создаю, - это RGB)

ИСТОРИЯ ФИЗИКИ

Давайте немного перемотаем назад и сначала сделаем небольшое объяснение физики.

Каждый светодиод имеет цвет, или, с научной точки зрения, мы бы сказали, что длина волны (λ) определяет его и измеряется в нанометрах (нм) и λ = 1 / f, где f - частота колебаний фотона.

То, что мы называем КРАСНЫМ, по сути, представляет собой (большую) группу фотонов, которые колеблются на 630 нм, эти фотоны попадают в материю и отражаются в наших глазах, которые действуют как рецепторы, а затем ваш мозг обрабатывает цвет объекта как КРАСНЫЙ; или фотоны могут попасть прямо в ваши глаза, и вы увидите светодиод, излучающий их, светящийся КРАСНЫМ цветом.

Было обнаружено, что то, что мы называем светом, на самом деле является лишь небольшой частью электромагнитного спектра между 380 и 740 нм; Итак, свет - это электромагнитная волна. Что любопытно в этой части спектра, так это то, что именно эта часть спектра легче проходит через воду. Угадай, что? Наши древние предки из Первобытного Супа находились на самом деле в воде, и именно в воде у первых, более сложных, живых существ начали развиваться глаза. Предлагаю вам посмотреть прикрепленное мной видео Kurzgesagt, чтобы лучше понять, что такое свет.

Подводя итог, светодиод излучает свет, который представляет собой определенное количество радиометрической мощности (мВт) на определенной длине волны (нм).

Обычно, когда мы имеем дело с видимым светом, мы говорим не о радиометрической мощности (мВт), а о световом потоке (лм), который представляет собой единицу измерения, взвешиваемую как реакцию на видимый свет глаз человека, и происходит от кандела - единица измерения, измеряемая в люменах (лм). В этой презентации мы рассмотрим люмены, излучаемые светодиодами, но все в равной степени применимо к мВт.

В любом техническом описании светодиодов производитель предоставит вам следующую информацию:

Например, из прилагаемой таблицы данных вы видите, что если вы запитаете оба светодиода током 100 мА, у вас будет следующее:

СИНИЙ - на 480 нм и имеет световой поток 11 лм;

ЗЕЛЕНЫЙ имеет длину 530 нм и световой поток 35 лм.

Это означает, что синяя кривая Гаусса будет выше, она будет больше подниматься, не изменяя ее ширину, и будет колебаться вокруг участка, ограниченного синей линией. В этой статье я объясню, как рассчитать высоту гауссиана, которая выражает полную пиковую мощность, излучаемую светодиодом, а не только мощность, излучаемую в этой части спектра, к сожалению, это значение будет ниже. Кроме того, я попытаюсь аппроксимировать перекрывающуюся часть двух светодиодов, чтобы понять, насколько перекрывается световой поток, когда мы имеем дело со светодиодами, которые являются «соседями» по спектру.

Измерение потока светодиодов - очень сложный вопрос, если вы хотите узнать больше, я загрузил подробную статью Osram, в которой объясняется, как это делается.

Шаг 2: Введение в параболу

Я не буду вдаваться в подробности того, что такое парабола, поскольку в школе ее широко изучают.

Уравнение параболы можно записать в следующем виде:

у = ах ^ 2 + Ьх + с

АРХИМЕД ПОМОГАЕТ НАМ

Я хотел бы подчеркнуть важную геометрическую теорему Архимеда. Теорема говорит, что площадь параболы, ограниченной прямоугольником, равна 2/3 площади прямоугольника. На первом изображении с параболой вы можете видеть, что синяя область составляет 2/3, а розовые области - 1/3 площади прямоугольника.

Мы можем вычислить параболу и ее уравнение, зная три точки параболы. В нашем случае мы вычисляем вершину и знаем пересечения с осью x, например:

СИНИЙ светодиод Vertex (480,?) Y вершины равен световой мощности, излучаемой на максимальной длине волны. Чтобы вычислить его, мы будем использовать отношение, которое существует между площадью гауссианы (фактический поток, излучаемый светодиодом) и площадью параболы, и мы воспользуемся теоремой Архимеда, чтобы узнать высоту прямоугольника, содержащего эту параболу.

х1 (447, 0)

х2 (513, 0)

ПАРАБОЛИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Глядя на изображение, которое я загрузил, вы можете увидеть сложную модель, представляющую параболами несколько различных световых потоков светодиодов, но мы знаем, что их представление не совсем такое, поскольку оно больше похоже на гауссово.

Однако с параболами, используя математические формулы, мы можем найти все точки пересечения нескольких парабол и вычислить площади пересечения.

На шаге 5 я прикрепил электронную таблицу, в которую я поместил все формулы для расчета всех парабол и их пересекающихся областей монохроматических светодиодов.

Обычно основание гауссианы для светодиода составляет 66 нм, поэтому, если мы знаем доминирующую длину волны и аппроксимируем излучение светодиода параболой, мы знаем, что относительная парабола будет пересекать ось x в λ + 33 и λ-33.

Это модель, которая приблизительно соответствует общему излучаемому свету светодиода с параболой. Но мы знаем, что если мы хотим быть точными, это не совсем правильно, нам нужно использовать кривые Гаусса, которые подводят нас к следующему шагу.

Шаг 3: Введение в гауссову кривую

Гауссиан - это кривая, которая будет казаться более сложной, чем парабола. Он был изобретен Гауссом для интерпретации ошибок. Фактически, эта кривая очень полезна, чтобы увидеть вероятностное распределение явления. По мере того, как мы движемся влево или вправо от среднего значения, мы наблюдаем менее частое явление, и, как вы можете видеть на последнем рисунке, эта кривая очень хорошо аппроксимирует реальные события из жизни.

Формула Гаусса - самая устрашающая, которую вы видите на втором рисунке.

Гауссовские свойства:

- симметрично относительно среднего;

- x = μ не только совпадают со средним арифметическим, но также с медианой и модой;

- он асимптотичен по оси x со всех сторон;

- уменьшается на xμ;

- он имеет две точки перегиба в x = μ-σ;

- площадь под кривой равна 1 единице (вероятность того, что любой x подтвердит)

σ - стандартное отклонение, чем больше число, тем шире основание Гаусса (первое изображение). Если значение находится в части 3σ, мы будем знать, что оно действительно уходит от среднего и вероятность того, что это произойдет, меньше.

В нашем случае со светодиодами нам известна область гауссиана, которая представляет собой световой поток, указанный в таблице данных производителя при заданном пике длины волны (который является средним).

Шаг 4: демонстрация с помощью Geogebra

В этом разделе я расскажу вам, как использовать Geogebra, чтобы продемонстрировать, что парабола в 2,19 раза больше гауссианы.

Во-первых, вы должны создать пару переменных, нажав на команду ползунка:

Стандартное отклонение σ = 0,1 (стандартное отклонение определяет, насколько широкая кривая Гаусса, я поставил небольшое значение, потому что я хотел сделать его узким, чтобы имитировать спектральное распределение мощности светодиода)

Среднее значение равно 0, поэтому гауссиан строится по оси y, где легче работать.

Нажмите на маленькую волновую функцию, чтобы активировать функциональную секцию; там, нажав на fx, вы можете вставить формулу Гаусса, и вы увидите всплывающую на экране красивую высокую кривую Гаусса.

Графически вы увидите, где кривая сходится по оси x, в моем случае в X1 (-0,4; 0) и X2 (+0,4; 0) и где вершина находится в V (0; 4).

С этими тремя точками у вас будет достаточно информации, чтобы найти уравнение параболы. Если вы не хотите производить расчеты вручную, на следующем шаге смело используйте этот веб-сайт или электронную таблицу.

Используйте команду функции (fx), чтобы заполнить только что найденную функцию параболы:

у = -25x ^ 2 +4

Теперь мы должны понять, сколько гауссиан находится в параболе.

Вам нужно будет использовать команду function и вставить команду Integral (или Integrale в моем случае, поскольку я использовал итальянскую версию). Определенный интеграл - это математическая операция, которая позволяет нам вычислить площадь функции, определенной между значениями x. Если вы не помните, что такое определенный интеграл, прочтите здесь.

a = интеграл (f, -0,4, +0,4)

Эта формула Geogebra будет решать определенный интеграл от -0,4 до +0,4 функции f, гауссиана. Поскольку мы имеем дело с гауссианом, его площадь равна 1.

Сделайте то же самое с параболой, и вы обнаружите магическое число 2,13. Это ключевое число для всех преобразований светового потока с помощью светодиодов.

Шаг 5: Пример из реальной жизни со светодиодами: расчет пика потока и перекрывающихся потоков

СВЕТОВОЙ ПОТОК НА ПИКЕ

Теперь, когда мы обнаружили коэффициент преобразования 2,19, очень легко вычислить фактическую высоту перемешанных гауссовых кривых распределения потока светодиода.

Например:

СИНИЙ светодиод имеет световой поток 11 лм

- преобразуем этот поток из гауссова в параболический 11 x 2,19 = 24,09

- мы используем теорему Архимеда для вычисления относительной площади прямоугольника, содержащего параболу 24,09 x 3/2 = 36,14

- мы находим высоту этого прямоугольника, разделяющего основание гауссианы для СИНЕГО светодиода, указанную в таблице данных или видимую в таблице данных, обычно около 66 нм, и это наша мощность на пике 480 нм: 36,14 / 66 = 0,55

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ СВЕТОВОГО ПОТОКА

Чтобы рассчитать два перекрывающихся излучения, я объясню на примере следующих двух светодиодов:

СИНИЙ - на 480 нм и имеет световой поток 11 лм, ЗЕЛЕНЫЙ - на 530 нм и имеет световой поток 35 лм.

Мы знаем и видим из диаграммы, что обе гауссовы кривые сходятся при -33 нм и + 33 нм, следовательно, мы знаем, что:

- СИНИЙ пересекает ось x на 447 нм и 531 нм

- ЗЕЛЕНЫЙ пересекает ось x через 497 нм и 563 нм

Мы ясно видим, что две кривые пересекаются, поскольку один конец первой находится за началом другой (531 нм> 497 нм), поэтому свет этих двух светодиодов перекрывается в некоторых точках.

Сначала мы должны вычислить уравнение параболы для обоих. Прилагаемая электронная таблица предназначена для помощи в вычислениях и содержит формулы для решения системы уравнений для определения двух парабол, зная точки пересечения оси x и вершину:

СИНЯЯ парабола: y = -0,0004889636025x ^ 2 + 0,4694050584x -112,1247327

ЗЕЛЕНАЯ парабола: y = -0,001555793281x ^ 2 + 1,680256743x - 451,9750618

в обоих случаях a> 0 и, поэтому парабола правильно направлена вверх ногами.

Чтобы доказать, что эти параболы верны, просто заполните a, b, c в калькуляторе вершин на этом веб-сайте калькулятора парабол.

В электронной таблице уже выполнены все вычисления, чтобы найти точки пересечения между параболами и вычислить определенный интеграл для получения площадей пересечения этих парабол.

В нашем случае площадь пересечения спектров синего и зеленого светодиода составляет 0,4247.

Как только у нас есть пересекающиеся параболы, мы можем умножить эту недавно обнаруженную пересекающуюся область на гауссов множитель 0,4694 и найти очень близкое приближение того, сколько мощности светодиоды излучают вместе в этом участке спектра. Чтобы найти единичный световой поток светодиода, излучаемый в этом разделе, просто разделите его на 2.

Шаг 6: Исследование монохроматических светодиодов экспериментальной лампы завершено

Что ж, большое спасибо за чтение этого исследования. Надеюсь, вам будет полезно глубоко понять, как излучается свет от лампы.

Я изучал потоки светодиодов специальной лампы, состоящей из трех типов монохроматических светодиодов.

«Ингредиенты» для изготовления этой лампы:

- 3 светодиода BLU

- 4 ЗЕЛЕНЫХ светодиода

- 3 КРАСНЫХ светодиода

- 3 резистора для ограничения тока в ветвях цепи светодиода

- Блок питания 12В 35Вт

- Акриловая крышка с тиснением.

- OSRAM OT BLE DIM control (блок управления светодиодами Bluetooth)

- Алюминиевый радиатор

- Болты и гайки M5 и L-образные кронштейны

Управляйте всем с помощью приложения Casambi со своего смартфона, вы можете включать и затемнять каждый светодиодный канал отдельно.

Соорудить светильник очень просто:

- прикрепите светодиод к радиатору двусторонним скотчем;

- спаяйте все синие светодиоды последовательно с резистором и сделайте то же самое с другим цветом для каждой ветви схемы. В соответствии с выбранными вами светодиодами (я использовал светодиод Lumileds) вам нужно будет выбрать размер резистора в зависимости от того, какой ток вы будете подавать на светодиод, и от общего напряжения, подаваемого источником питания 12 В. Если вы не знаете, как это сделать, я предлагаю вам прочитать это замечательное руководство о том, как определить размер резистора для ограничения тока ряда светодиодов.

- подключите провода к каждому каналу Osram OT BLE: весь основной плюс ветвей светодиодов идет к общему (+), а три отрицательных стороны ответвления идут соответственно к -B (синий) -G (зеленый) -R (красный).

- Подключите блок питания ко входу Osram OT BLE.

Что хорошо в Osram OT BLE, так это то, что вы можете создавать сценарии и программировать светодиодные каналы, как вы можете видеть в первой части видео, я затемняю три канала, а во второй части видео я использую некоторые готовые световые сценарии.

ВЫВОДЫ

Я широко использовал математику, чтобы глубоко понять, как будут распространяться потоки этих ламп.

Я очень надеюсь, что сегодня вы узнали что-то полезное, и я сделаю все возможное, чтобы проинструктировать больше примеров таких глубоких прикладных исследований, как этот.

Ключ к успеху - исследования!

Пока!

Пьетро