Кривая брахистохрона: 18 шагов (с изображениями)

2024 Автор: John Day | [email protected]. Последнее изменение: 2024-01-30 11:51

Кривая брахистохрона - это классическая физическая задача, которая определяет самый быстрый путь между двумя точками A и B, которые находятся на разных высотах. Хотя эта проблема может показаться простой, она дает противоречивый результат, и поэтому за ней интересно наблюдать. В этих инструкциях вы узнаете о теоретической проблеме, разработаете решение и, наконец, построите модель, демонстрирующую свойства этого удивительного принципа физики.

Этот проект предназначен для учащихся старших классов, поскольку они изучают связанные концепции на уроках теории. Этот практический проект не только укрепляет их понимание темы, но также предлагает синтез нескольких других областей для развития. Например, при создании модели студенты будут изучать оптику через закон Снеллиуса, компьютерное программирование, 3D-моделирование, цифровую фрагментацию и базовые навыки деревообработки. Это позволяет всему классу вносить свой вклад, разделяя работу между собой, делая ее совместными усилиями. На создание этого проекта уходит около недели, а затем его можно продемонстрировать классу или младшим школьникам.

Нет лучшего способа учиться, чем STEM, поэтому сделайте свою собственную рабочую модель брахистохроны. Если вам понравился проект, голосуйте за него в школьном конкурсе.

Шаг 1: теоретическая проблема

Проблема брахистохрона - это проблема, которая вращается вокруг поиска кривой, которая соединяет две точки A и B, которые находятся на разных высотах, так что B не находится непосредственно под A, так что падение шарика под действием однородного гравитационного поля вдоль этого пути приведет к добраться до точки B в кратчайшие сроки. Проблема была поставлена Иоганном Бернулли в 1696 году.

Когда Иоганн Бернулли задал проблему брахистохрона в июне 1696 года читателям журнала Acta Eruditorum, одного из первых научных журналов немецкоязычных стран Европы, он получил ответы от пяти математиков: Исаака Ньютона, Якоба Бернулли., Готфрид Лейбниц, Эренфрид Вальтер фон Чирнхаус и Гийом де л'Опиталь, каждый из которых обладает уникальными подходами!

Предупреждение: следующие шаги содержат ответ и раскрывают красоту этого кратчайшего пути. Найдите минутку, чтобы подумать над этой проблемой, может быть, вы сможете решить ее, как один из этих пяти гениев.

Шаг 2. Использование закона Снеллиуса для демонстрации

Один из подходов к решению проблемы брахистохроны состоит в том, чтобы решить эту проблему, проводя аналогии с законом Снеллиуса. Закон Снеллиуса используется для описания пути, по которому луч света будет следовать из одной точки в другую при переходе через две разные среды, с использованием принципа Ферма, который гласит, что луч света всегда будет идти по самому быстрому маршруту. Формальный вывод этого уравнения можно найти, перейдя по следующей ссылке.

Поскольку свободно падающий объект под действием гравитационного поля можно сравнить с лучом света, проходящим через изменяющуюся среду, каждый раз, когда луч света встречает новую среду, луч слегка отклоняется. Угол этого отклонения можно рассчитать с помощью закона Снеллиуса. По мере того, как продолжают добавлять слои уменьшающей плотности перед отклоненным лучом света, пока луч не достигнет критического угла, при котором луч просто отражается, траектория луча описывает брахистохромную кривую. (красная кривая на диаграмме выше)

Кривая брахистохроны на самом деле представляет собой циклоиду, которая представляет собой кривую, очерченную точкой на ободе круглого колеса, когда колесо катится по прямой линии без проскальзывания. Таким образом, если нам нужно нарисовать кривую, можно просто использовать описанный выше метод для ее создания. Еще одно уникальное свойство кривой состоит в том, что мячу, выпущенному из любой точки кривой, потребуется точно такое же время, чтобы достичь дна. Следующие шаги описывают процесс проведения классного эксперимента путем построения модели.

Шаг 3: модель практического эксперимента

Модель состоит из траекторий, вырезанных лазером, которые действуют как следы для мрамора. Чтобы продемонстрировать, что кривая брахистохроны - это самый быстрый путь от точки A до B, мы решили сравнить ее с двумя другими путями. Поскольку многие люди интуитивно чувствовали, что самая короткая часть - самая быстрая, мы решили проложить прямой склон, соединяющий обе точки, в качестве второго пути. Третья - крутая кривая, так как можно было бы почувствовать, что резкое падение обеспечит достаточную скорость, чтобы превзойти остальных.

Второй эксперимент, в котором шары выпускаются с разной высоты по трем брахистохронным путям, приводит к тому, что шары достигают одновременно. Таким образом, наша модель имеет направляющие, напечатанные на 3D-принтере, которые обеспечивают простую взаимозаменяемость между акриловыми панелями, позволяя проводить оба эксперимента.

Наконец, механизм выпуска гарантирует, что шары падают вместе, а модуль синхронизации внизу записывает время, когда шары достигают дна. Для этого мы встроили три концевых выключателя, которые активируются при срабатывании шариков.

Примечание: можно просто скопировать этот дизайн и сделать его из картона или других легко доступных материалов.

Шаг 4: Необходимые материалы

Вот детали и принадлежности, чтобы сделать рабочую модель эксперимента с брахистохроном.

АППАРАТНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ:

Доска сосны 1 дюйм - размеры; 100см на 10см

Neodymium Magnetx 4 - габариты; Диаметр 1 см и высота 0,5 см

Нить для 3D-печати - PLA или ABS подойдут

Резьбовая вставка M3 x 8 - (опционально)

Болт M3 x 8 - длина 2,5 см

Шуруп для дерева x 3-6 см длиной

Шуруп по дереву 12 - длина 2,5 см

ЭЛЕКТРОНИКА:

Ардуино Уно

Limit Switchx 4 - эти переключатели будут действовать как система отсчета времени

Нажать кнопку

ЖК дисплей

Jumpwire x многие

Общая стоимость модели составила около 30 долларов.

Шаг 5: 3D-печать

Некоторые детали, такие как спусковой механизм и блок управления, были изготовлены с помощью 3D-принтера. В следующем списке указано общее количество деталей и их печатные характеристики. Все файлы STL находятся в папке, прикрепленной выше, что позволяет при необходимости вносить необходимые изменения.

Блок управления x 1, заполнение 20%

Направляющая x 6, заполнение 30%

Концевой упор x 1, заполнение 20%

Поворотный рычаг x 1, заполнение 20%

Поворотное крепление x 1, заполнение 30%

Разделительный элемент x 1, заполнение 20%

Детали были напечатаны из PLA, так как на детали не действуют особые нагрузки. Всего на печать ушло около 40 часов.

Шаг 6: лазерная резка дорожек

Различные пути, которые мы разработали для Fusion 360, были экспортированы как файлы.dxf, а затем вырезаны лазером. Для изгибов мы выбрали непрозрачный белый акрил толщиной 3 мм. Его можно даже сделать из дерева с помощью ручных инструментов, но важно убедиться, что выбранный материал является жестким, поскольку гибкость может повлиять на то, как шарики катятся вниз.

6 x кривая брахистохрона

2 x крутая кривая

2 x прямая кривая

Шаг 7: резка дерева

Каркас модели изготовлен из дерева. Мы выбрали сосну размером 1 на 4 дюйма, так как у нас остались некоторые остатки от предыдущего проекта, хотя можно использовать древесину по своему выбору. С помощью циркулярной пилы и направляющей вырезаем два куска дерева длиной:

48 см, что составляет длину пути

31 см, что составляет высоту

Мы очистили неровные края, слегка отшлифуя их на шлифовальной машине.

Шаг 8: сверление отверстий

Перед тем, как скрепить две части вместе, отметьте толщину древесины на одном конце нижней части и центрируйте три равноудаленных отверстия. Мы использовали 5-миллиметровую коронку, чтобы создать пилотное отверстие на обоих кусках дерева, и утопили отверстие в нижней части, чтобы головка винта могла ввинчиваться заподлицо.

Примечание: будьте осторожны, чтобы не расколоть вертикальный кусок дерева, так как он будет просверливать торцевое волокно. Также используйте длинные шурупы по дереву, так как важно, чтобы рама и верхняя часть не дрожали из-за рычагов.

Шаг 9: установка радиаторов и магнитов

Поскольку резьба в деталях, напечатанных на 3D-принтере, со временем изнашивается, мы решили встроить радиаторы. Отверстия немного уменьшены, чтобы радиатор лучше держался за пластик. Мы надели радиаторы M3 поверх отверстий и вставили их кончиком паяльника. Тепло плавит пластик, позволяя зубам вклиниться. Убедитесь, что они находятся на одном уровне с поверхностью и входят перпендикулярно. Всего имеется 8 точек для резьбовых вставок: 4 для крышки и 4 для крепления Arduino Uno.

Чтобы упростить установку блока синхронизации, мы встроили в коробку магниты, чтобы их было легко отсоединить, если когда-либо потребуются изменения. Магниты должны быть ориентированы в одном направлении, прежде чем они будут вставлены на место.

Шаг 10: Установка концевых выключателей

Три концевых выключателя прикреплены к одной стороне блока синхронизации, которая обращена к нижней части дорожек. Таким образом, когда шары щелкают переключателями, можно определить, какой шар достиг первого, и отобразить время на ЖК-дисплее. Припаяйте небольшие полоски провода к клеммам и закрепите их в пазах с помощью клея CA, так как они не должны ослабевать после продолжительных ударов.

Шаг 11: ЖК-дисплей

На крышке таймера есть прямоугольный вырез под жк-экран и отверстие для кнопки «пуск». Мы закрепили дисплей каплями горячего клея до тех пор, пока он не слился с поверхностью крышки, и закрепили красную кнопку ее крепежной гайкой.

Шаг 12: Подключение электроники

Подключение состоит из подключения различных компонентов к нужным контактам на Arduino. Следуйте приведенной выше схеме подключения, чтобы установить коробку.

Шаг 13: загрузка кода

Код Arduino для проекта brachistochrone можно найти в приложении ниже. В отсеке для электроники есть два отверстия для легкого доступа к порту программирования Arduino и к разъему питания.

Красная кнопка, прикрепленная наверху коробки, используется для запуска таймера. Как только шарики скатываются по кривым и срабатывают концевые выключатели, расположенные внизу, время последовательно записывается. После попадания всех трех мячей на ЖК-экране отображаются результаты, выровненные по соответствующим кривым (изображения прилагаются выше). После того, как вы отметили результаты на случай, если потребуется второе чтение, просто снова нажмите основную кнопку, чтобы обновить таймер и повторить тот же процесс.

Шаг 14: Руководства по 3D-печати

Направляющие, напечатанные на 3D-принтере, имели 3-миллиметровую материальную основу до начала опорных стен. Поэтому, когда акриловые панели будут сдвинуты на место, между панелью и деревянной рамой будет зазор, что снизит устойчивость пути.

Поэтому направляющую нужно было врезать в древесину на 3 мм. Поскольку у нас не было маршрутизатора, мы отнесли его в местную мастерскую и сделали на фрезерном станке. После небольшого шлифования отпечатки плотно прилегали, и мы могли закрепить их с помощью шурупов сбоку. Выше прилагается шаблон для размещения 6 направляющих на деревянной раме.

Шаг 15: Добавление стопора и блока отсчета времени

Поскольку модуль синхронизации был отдельной системой, мы решили сделать систему быстрого монтажа и отсоединения с помощью магнитов. Таким образом можно легко запрограммировать его, просто вынув блок. Вместо того, чтобы делать шаблон для переноса положения магнитов, которые необходимо встроить в древесину, мы просто позволяем им соединяться с магнитами на коробке, а затем наносим немного клея и помещаем коробку на кусок дерева. Следы клея переносятся на дерево, что позволяет быстро просверливать отверстия в точных местах. Наконец, прикрепите стопор, напечатанный на 3D-принтере, и блок синхронизации должен плотно прилегать, но при этом его можно будет отсоединить с помощью легкого усилия.

Шаг 16: механизм выпуска

Механизм выпуска простой. Используйте гайку и болт, чтобы плотно соединить С-образную секцию с поворотным рычагом, сделав их одной надежной деталью. Затем просверлите два отверстия в середине вертикального дерева и прикрепите крепление. Сдвиньте поворотный вал и механизм готов.

Шаг 17: эксперимент

Теперь, когда модель готова, можно проводить следующие эксперименты.

Эксперимент 1

Осторожно вставьте акриловые панели прямого пути, кривой брахистохроны и крутого пути (в этом порядке для наилучшего эффекта). Затем потяните защелку вверх и поместите три шарика вверху изгиба, убедившись, что они идеально выровнены друг с другом. Плотно удерживайте их на месте защелкой вниз. Заставьте одного ученика отпустить шары, а другого нажать красную кнопку, чтобы запустить систему отсчета времени. Наконец, понаблюдайте, как шары катятся по траектории, и проанализируйте результаты, отображаемые на модуле синхронизации. Настройка камеры для записи видео в замедленном режиме еще более увлекательна, так как гонку можно просматривать кадр за кадром.

Эксперимент 2

Как и в предыдущем эксперименте, проведите слайд по акриловым панелям, но на этот раз все пути должны быть брахистонхронной кривой. На этот раз осторожно попросите ученика подержать три шара на разной высоте и нажать красную кнопку, когда шары будут выпущены. Посмотрите на удивительный момент, когда шары идеально выстраиваются перед финишем, и подтвердите наблюдения результатами.

Шаг 18: Заключение

Создание модели брахистохроны - это практический способ увидеть магические способы функционирования науки. Эксперименты не только интересно наблюдать и увлекательны, но и предлагают синтез аспектов обучения. Хотя это в первую очередь проект, предназначенный для старшеклассников, как практически, так и теоретически, эта демонстрация может быть легко понятна детям младшего возраста и может быть представлена в виде упрощенной презентации.

Мы хотели бы побудить людей делать вещи, будь то успехи или неудачи, потому что, в конце концов, STEM - это всегда весело! Удачи!

Не проголосуйте в конкурсе в классе, если вам понравились инструкции, и оставьте свой отзыв в разделе комментариев.

Главный приз в конкурсе классной науки